题目

小弟对随机变量的定义有些不理解,请大侠指导:
设E为一随机试验,Ω为它的样本空间,若X= (ω),ω∈Ω为单值实函数,且对于任意实数x,集合{ω/X(ω)≤x}都是随机事件,则称X为随机变量.——这是我看到的随机变量的定义.
1、任意实数x 怎么来理解?
2、X(ω)≤x 是随机事件 那么这个X(ω)≥x 就不是随机事件吗?为什么?
谢谢大侠,小弟实在不理解.

提问时间：2021-01-02

答案

定义随机变量首先需要有概率空间(Ω,F,P),F是Ω子集的一个集类,是borel域(有的书上也叫sigma代数).所谓E是一个随机事件,就是指E∈F,P是定义在F上的集函数,是概率测度.X是随机变量,当且仅当,任意x∈(-infinity,infinity),{w∈Ω:X(w)<=x}∈F,(其实这并不是最原始的定义,而是一个等价条件,可做定义用).
第二个问题,涉及到borel域的构成方式问题,borel域要求对补和可列并封闭,若{X(ω)≤x}∈F,则有{X=x}=Ω-{X<=x}∈F.
要详细了解这些东西,需要测度论的基础.