题目

已知函数y=f（x）,方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N* ),则称｛an｝为由函数f（x）导出的数列.设
h(x) = (ax+b)/(cx+d) (c≠0,ad-bc≠0,(d-a)2+4bc>0)
试探求由函数h（x）导出的数列｛bn｝（其中b1=p）为周期数列的充要条件
注：已知数列｛bn｝,若存在正整数T,对于一切n∈N*都有bn+T=bn,则称数列｛bn｝为周期数列,T是它的一个周期

提问时间：2021-01-02

答案

1、ad-bc≠0说明 (ax+b)/(cx+d)不等于常数；(d-a)2+4bc>0说明x=(ax+b)/(cx+d)有两个不同的跟.
2、如果x1、x2是x=(ax+b)/(cx+d)两个根,必定有c*x1^2-a*x1=b-d*x1 -------式子(1)(x2一样道理)
3、bn+1=f(bn),如果b1=x1或x2,那么bn恒等于x1或x2,必定是周期函数,所以此时只需要条件b1=x1或x2；
4、bn+1 - x1= (a*bn+b)/(c*bn+d) - x1 = [(a-c*x1)(bn-x1)] / (c*bn+d),用到上面式子(1)化简
bn+1 - x2= (a*bn+b)/(c*bn+d) - x2= [(a-c*x1)(bn-x2)] / (c*bn+d),用到上面式子(1)化简
两式相比,(bn+1 - x1) / (bn+1 - x2) = (a-c*x1) / (a-c*x2) * (bn-x1) /( bn-x2) ,这样就像等比数列
那么就可以求得,(bn - x1) / (bn - x1) =[ (a-c*x1) / (a-c*x2) ] ^ (n-1) * [(b1-x1)/(b2-x2)]
我们可以把它看成,(bn - x1) / (bn - x1) = k*q^n ,其中k,q都是可以求出来的数来的.
5、如果bn是周期函数bn+T=bn,那么必定有
(bn+T - x1) / (bn+T - x1) = k*q^(n+T)
由于k*q^(n+T) =k*q^n * q^T =q^T*(bn - x1) / (bn - x1)=q^T*(bn+T - x1) / (bn+T - x1)
那么必有,(bn+T - x1) / (bn+T - x1)=q^T*(bn+T - x1) / (bn+T - x1)
由于bn不等于x1或x2,所以q只能等于 正负1
i)如果q=1代入第4步所表示的数,可以知道x1=x2,与题目判别式不合,矛盾；
ii)如果q= -1代入第4步所表示的数,可以知道a= -d ,但是此时的周期一定是偶数；
6、最后,充要条件是：i)b1为x1或x2； ii)a= -d
以上求解过程不知道有没有算错,思路就这样子了.