题目

已知命题p：a∈{y|y=

−x2+2x+8

，x∈R}，命题q：关于x的方程x²+x-a=0的一根大于1，另一根小于1．如果命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-01-02

答案

{y|y=

−x2+2x+8

，x∈R}={y|0≤y≤9}，
∴命题p：a∈{y|y=

−x2+2x+8

，x∈R}．即a∈[0，3]，
命题q：关于x的方程x²+x-a=0的一根大于1，另一根小于1．
即1²+1-a＜0，a＞2．
命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
说明p，q中恰有一个为真，
若p真q假，则a∈[0，2]；
若p假q真，则a∈（3，+∞）．
综合得a的范围是[0，2]∪（3，+∞）．

求出函数y|y=

−x2+2x+8

，x∈R的值域得到命题p为真命题或假命题的a的范围，再由方程x²+x-a=0的一根大于1，另一根小于1列式求得a的范围，即命题q为真命题的a的范围，进一步得到命题q为假命题的a的范围，由命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，说明p，q中恰有一个为真，然后由交集概念得答案．

本题考点：复合命题的真假．

考点点评：本题考查了复合命题的真假判断与应用，考查了数学转化思想方法，考查了交集及其运算，是基础题．