题目

双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1与圆x^2+y^2-10x+20=0无公共点,则双曲线离心率的取值范围是?
a>0,b>0

提问时间：2021-01-02

答案

圆方程为：x^2+y^2-10x+20=0,变成(x-5)^2+y^2=（√5）^2,
则方程是以（5,0）为圆心,√5为半径的圆,
要使双曲线和圆无公共点,则在极限位置双曲线的二渐近线是圆的切线,
设经过圆心的两条切线方程为：y=±kx,
先看一条,y=kx,
圆心（5,0）至切线距离d,根据点线距离公式,d=|5*k-0*1|/√（1+k^2)=√5,
|k|=1/2,
|k|最小为1/2,
切线方程为双曲线的渐近线方程,y=±(a/b)x,
则a/b=|k|,
b=a/|k|,
c=√（a^2+a^2/k^2)=a√(1+k^2)/|k|,
离心率e=c/a=√（1+k^2)/|k|=√（1+1/k^2)
|k|越大,e越小,k→∞,e→1,（接近Y轴）,
反之,|k|越小,分数e越大,当到极限位置,至圆的切线时,即|k|=1/2时,圆的切线就是双曲线的渐近线,e=√5,此时虽和圆相切,但并没有和双曲线相交,
∴1