题目

已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点且向量OQ点乘向量OP=0(O为坐标原点）
求该圆的圆心坐标及半径 这道题打得好辛苦啊- -

提问时间：2021-01-02

答案

oh,my god,回答看来也会很辛苦,
（1）圆心坐标,把圆方程化一下：
(x+1/2)^2+(y-3)^2=9+1/4+m
所以圆心坐标（-1/2,3）
这第一问打酱油的吧?.
作线段PQ中点M,连结MC,PC,易知MC⊥PQ（C为圆心）
由于PQ所在直线为x+2y-3=0,
由几何关系,PC=PQ,M为PQ中点,等腰三角形中M为PQ中点,所以CM是PQ边上的垂线（三线合一）两直线垂直,斜率之积为-1
故设直线MC方程为2x-y+D=0
将点C坐标代入直线MC方程,可得：
2*(-1/2)-3+D=0,解得D=4
所以直线MC方程为2x-y+4=0
联立方程2x-y+4=0,x+2y-3=0求直线PQ与直线MC的交点即PQ中点M
可解得x=-1,y=2
所以中点M坐标为(-1,2)
则|OM|=√5,|CM|=√(1/4 +1)=√5/2
因为OP⊥OQ,所以
在Rt△OPQ中,由点M是斜边PQ上的中点可得：
|PQ|=2|OM|=2√5
即|MP|=√5
则在Rt△CMP中,|CM|=√5/2,斜边|CP|=r=√(37/4 -m)
由勾股定理|CP|²=|MP|²+|CM|²可得：
37/4 -m=5+5/4=25/4
解得m=3
所以半径为：√（9+1/4+3）=7/2