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题目
已知
1
3
≤a≤1
,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式.

提问时间:2021-01-01

答案
f(x)=ax2-2x+1的对称轴为x=
1
a

1
3
≤a≤1
,∴1
1
a
3,
∴f(x)在[1,3]上,N(a)=f(
1
a
)=1-
1
a

∵f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),
∴①当1
1
a
2,即
1
2
≤a≤1
时,
M(a)=f(3)=9a-5,N(a)=f(
1
a
)=1-
1
a

g(a)=M(a)-N(a)=9a+
1
a
-6.
②当2
1
a
3,即
1
3
≤a<
1
2
时,
M(a)=f(1)=a-1,N(a)=f(
1
a
)=1-
1
a

g(a)=M(a)-N(a)=a+
1
a
-2.
∴g(a)=
9a+
1
a
−6,
1
2
≤a≤1
a+
1
a
−2,
1
3
≤a<
1
2
f(x)=ax2-2x+1的对称轴为x=
1
a
,由
1
3
≤a≤1
,知1
1
a
3,所以f(x)在[1,3]上,N(a)=f(
1
a
)=1-
1
a
.由a的符号进行分类讨论,能求出g(a)的解析式.

函数解析式的求解及常用方法.

本题考查函数的解析式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想的合理运用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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