题目

谁能教教我用十字相乘法解一元二次方程.

提问时间：2021-01-01

答案

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.
　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法个因数a1,a2的积a1.a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号. 基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解. .
　　上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) .
　　又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
　　讲
　　x-3x+2=如下：
　　x -1
　　╳
　　x -2
　　左边x乘x=x
　　右边-1乘-2=2
　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x
　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】
　　就等于（x-1）*（x-2）
　　x-3x+2=（x-1）*（x-2）例题
例1
　　把2x^2-7x+3分解因式.
　　分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
　　别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!)：
　　2=1×2=2×1；
　　分解常数项：
　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　1 1
　　╳
　　2 3
　　1×3+2×1
　　=5
　　1 3
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×3
　　=7
　　1 -1
　　╳
　　2 -3
　　1×(-3)+2×(-1)
　　=-5
　　1 -3
　　╳
　　2 -1
　　1×(-1)+2×(-3)
　　=-7
　　经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.
　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)
　　一般地,对于二次三项式ax+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：
　　a1 c1
　　╳
　　a2 c2
　　a1c2+a2c1
　　按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
　　ax+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
　　像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2
　　把6x^2-7x-5分解因式.
　　分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
　　2 1
　　╳
　　3 -5
　　2×(-5)+3×1=-7
　　是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
　　解 6x-7x-5=(2x+1)(3x-5)
　　指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
　　对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x-15分解因式,十字相乘法是
　　1 -3
　　╳
　　1 5
　　1×5+1×(-3)=2
　　所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
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