题目

如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．

提问时间：2021-01-01

答案

证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，
∴180°-∠ABC=180°-∠ADC，
即∠ABE=∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，

∠ABE＝∠ADF ∠AEB＝∠AFD＝90° AB＝AD

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF．
方法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴菱形ABCD的面积=BC•AE=CD•AF，
∴AE=AF．

方法一：根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，对角相等可得∠ABC=∠ADC，再根据等角的补角相等可得∠ABE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
方法二：根据菱形的四条边都相等，再利用菱形的面积证明即可．

本题考点：菱形的性质；角平分线的性质．

考点点评：本题考查了菱形的四条边都相等，对角相等的性质，全等三角形的判定与性质，证明边相等，想办法证明边所在的三角形全等是常用的方法之一，一定要树立掌握并灵活运用．