题目

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一动点．若BC=6，CE=2DE，则|PC-PA|的最大值是______．

提问时间：2021-01-01

答案

延长BA交CD的延长线于F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵在△FBE和△CBE中

∠BEF＝∠BEC BE＝BE ∠FBE＝∠CBE

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC=6，EF=EC，
∵BE⊥CF，
∴PC=PF（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
即|PC-PA|=|PF-PA|，
根据两点之间线段最短得：|PF-PA|≤AF，
即当|PC-PA|的最大值是AF，
∴当P和B重合时，|PC-PA|=|BC-BA|=AF，
∵EF=CE，CE=2DE，
∴DF=DE=

1

2

CE=

1

4

CF，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△BFC，
∴

AF

BF

=

FD

CF

=

1

4

，
∴AF=

1

4

BC=

1

4

×6=

3

2

，
即|PC-PA|的最大值是

3

2

，
故答案为：

3

2

．

延长BA交CD的延长线于F，求出BF=BC，EF=CE，求出DF=DE=

1

4

CF，求出PF=PC，根据两点之间线段最短得出|PC-PA|的最大值是PA，得出P和B重合时，得出最大值是AF的长，根据相似求出AF的值即可．

本题考点：梯形；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线定理等知识点的应用，关键是找出最大值是指哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，但是有一定的难度．