题目

在平面直角坐标系下，直线C₁：

x＝2t+2a y＝−t

（t为参数），曲线C₂：

x＝2cosθ y＝2+sinθ

，（θ为参数），若C₁与C₂有公共点，则实数a的取值是______．

提问时间：2020-12-31

答案

由直线C₁：

x＝2t+2a y＝−t

（t为参数），
消去参数t，整理得x=2a-2y，…①；
由曲线C₂：

x＝2cosθ y＝2+sinθ

，（θ为参数），
消去参数θ，得x²+4（y-2）²=4，…②；
将①代入②中，消去x并整理得2y²-2（a+2）y+a²+3=0，
由于C₁，C₂有公共点，所以上面关于y的一元二次方程有实数解，
所以△≥0，即4（a+2）²-4×2×（a²+3）≥0，
整理得a²-4a+2≤0，
解得2−

2

≤a≤2+

2

．
故答案为：[2−

2

，2+

2

]．

首先把曲线C₁，C₂的参数方程均化为普通方程；然后根据C₁，C₂有公共点知，两方程有公共解，联立两方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，由△≥0即可求出a的取值范围．

本题考点：参数方程化成普通方程．

考点点评：本题主要考查圆的参数方程与直角坐标方程的互化，属于基础题，对于两曲线的公共点问题，一般从几何和代数两方面考虑，两种方法各有其优缺点，注意选择使用．