题目

已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-12-31

答案

（1）设原不等式的解集为A，
当k=0时，A=（-∞，4）；（2分）
当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x-（k+

4

k

）]（x+4）＞0，
∵k+

4

k

＞4，（4分）
∴A＝(−∞，4)∪(k+

4

k

，+∞)；（5分）
当k=2时，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；（不单独分析k=2时的情况不扣分）
当k＜0时，原不等式化为[x-（k+

4

k

）]（x-4）＜0，
∴A＝(k+

4

k

，4)；（7分）
（2）由（1）知：当k≥0时，A中整数的个数为无限个；（9分）
当k＜0时，A中整数的个数为有限个，（11分）
因为k+

4

k

≤−4，当且仅当k=

4

k

时，即k=-2（k=2舍去）时取等号，（12分）
所以当k=-2时，A中整数的个数最少．（14分）