题目

试猜想三角形DEF的形状并证明
在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,AC等于BC,点D是AB的中点,过点C引一条直线l(不与AC,BC重合并且不经过点D）,过点A作AE垂直l于E,过点B作BF垂直l于F,连接DE,DF,

提问时间：2020-12-31

答案

△DEF是等腰三角形.
证明：如图,连接CD,
∵AE⊥CE,BF⊥CE,
∴∠BFC=∠CEA=90°,
∴∠FBC+∠FCB=∠EAC+∠ACE=90°,
∵∠ACE+∠FCB=∠ACB=90°
∴∠ACE=∠CBF,
∵AC=BC,
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE=CF,∠EAC=∠FCB
∵D是AB中点,∠ACB=90°,AC=BC,
∴AD=CD,∠DCA=∠DCB=45° ∠CAB=45°
∴∠EAC-∠DCA =∠FCB-∠DCB
即∠EAD =∠DCF
∴△AED≌△CFD（SAS）
∴ED=FD,∠DDA =∠FDC
由D是AB中点可知,∠ADC=90°,
∴ ∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°
所以△DEF是等腰直角三角形
图形共三种情况：直线L交线段AD；直线L交线段BD；直线L不与△ABC任意一边相交；我所证明的是第一种情况,其它情况结论都成立.