题目

抛物线的焦点弦与抛物线交于AB两点,过此两点作抛物线切线,切线交于c点,如何证明C点在抛物线的准线上.

提问时间：2020-12-30

答案

证明：我们不防设抛物线的方程为x^2=2py,那么其准线方程为y=-p/2,焦点F(0,p/2),设A(x1,y1),B(x2,y2),过焦点可设AB（斜率存在）直线方程为y=kx+p/2,联立x^2=2py消去y整理得x^2-2kpx-p^2=0,可得x1x2=-p^2（定值）易知抛物线上任意一点的斜率（求导）为2py'=2x,得K=y'=x/p,易得分别过A,B的切线方程为y=(x1/p)(x-x1)+y1.(1),y=(x2/p)(x-x2)+y2.(2),其中y1=(x1^2)/(2p).(3),y2=(x2^2)/(2p).(4).将(3)、(4)代入(1)、(2).两式相减消去y得两切线交点横坐标xc=(x1+x2)/2.再用(1)＊x2-(2)＊x1,消去x解得两切线交点纵坐标yc=x1x2/(2p)=-p^2/(2p)=-p/2（定值）即c点在准线y=-p/2,从而命题得证.