题目

已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线L交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线相交于点Q,
（1）求向量OA*向量OB的值
（2）求点Q的纵坐标
（3）证明：向量QF^2=向量AF*向量BF

提问时间：2020-12-30

答案

（1）设A(x1,y1) B(x2,y2)直线AB的方程为x=my+p/2,
与y²=2px联立得y²-2pmy-p²=0,所以y1y2=-p²
x1x2=y1²/2p×y2²/2p=(y1y2)²/4p²=p²/4,
∴向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=－3/4 p²
(2)由y²=2px得y=√(2px)（y≥0）或y=－√(2px)(y＜0)求导得：当y≥0时,
y'=√(2p)/(2√x)=√(2p)/(2√(y²/2p))=p/y,同理当y＜0时,y'=p/y
所以直线AQ和BQ的方程分别为：y=p/y1(x-x1)+y1=p/y1(x-y1²/2p)+y1
=p/y1 x + y1/2 y=p/y2 x + y2/2
令p/y1 x + y1/2=p/y2 x + y2/2得（p/y1－p/y2 ）XQ= y2/2－y1/2
XQ=y1y2/2p=－p/2,即Q的横坐标为－p/2 Q的纵坐标为(y1+y2)/2=pm(其中m
直线AB斜率的倒数)
（3）证明:向量QF=(p,-pm) ∴向量QF²=p²+pm
向量AF*向量BF=(p/2－x1,-y1)（p/2－x2,-y2）=p²/4-p/2(x1+x2)+x1x2
=p²/4-p/2[(y1+y2)²-2y1y2]/2p+x1x2,由（1）中数据代入可得
向量AF*向量BF=p²/4-1/4 (2pm)²+p²/2+p²/4=p²+pm
∴向量QF^2=向量AF*向量BF 证毕