题目

抛物线,求弦的中点轨迹
抛物线 x=at^2,y=2at
有一经过焦点的弦,求弦的中点的轨迹

提问时间：2020-12-30

答案

显然焦点为（1,0）
1假设直线经过焦点且斜率存在,设直线为y=k（x-1）,k不为0,且（x.,y.）是所求轨迹上任意一点,将直线和抛物线联立,将y消去,得到k²（x-1）²=4x,整理得到k²x²-（2k²+4）x+k²=0,那么x1+x2=-b/a=（2k²+4）/k²,x.=（x1+x2）/2=（k²+2）/k²,带入直线,得到y.=2/k,那么k=2/y.,带入x.=（k²+2）/k²,并整理后得到y²=2x-2
2当斜率不存在时,中点为（1,0）,显然也是满足上面方程的
综合上述,轨迹方程为y²=2x-2