题目

已知椭圆方程X2/4+Y2=1,过点Q（-1,0）的直线L交椭圆于AB两点,交直线X=-4于点E,点Q分AB向量所成比为M,点E分AB向量所成比为N,求证M+N为定值,并计算出该值?
是的，我想N是负值吧~

提问时间：2020-12-30

答案

椭圆方程：x²／4＋y²＝1
过Q（-1,0）的直线设为y=k(x+1),x=-4时y=-3k,即E(-4,-3k)
设A(x1,y1),B(x2,y2),又Q（-1,0）E（-4,-3k）
向量AQ=(-1-x1,-y1),QB=(x2+1,y2),AE=(-4-x1,-3k-y1),EB(x2+4,y2+3k)
有题给向量关系得向量AQ=mQB,AE=nEB
向量坐标带入得-y1=my2,-4-x1=n(x2+4)（就要这两个,那两个没有用.）
变为m=-y1／y2,n=-(x1+4)／(x2+4)
m+n=-y1／y2-(x1+4)／(x2+4)
y=k(x+1)带入上式得m+n=-(x1+1)／(x2+1)-(x1+4)／(x2+4)
=-[2x1x2+5(x1+x2)+8]／（x2+1）（x2+4）.①（别管分母呀）
直线方程带入椭圆方程得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0
x1+x2=-8k²／（4k²＋1）,x1x2=(4k²-4)／(4k²+1)
将上面的关系带入①可得,
m+n=-[2（4k²-4）-40k²+32k²+8]／[(x2+1)(x2+4)(4k²+1)]=0.(别管分母呀)