题目

已知两集合A={x|x=t²+（a+1）t+b，t∈R}，B={x|x=-t²-（a-1）t-b，t∈R}，且A∩B={x|-1≤x≤2}，求常数a、b的值．

提问时间：2020-12-30

答案

由A中x=t²+（a+1）t+b=（t+

a+1

2

）²+b-

(a+1)2

4

≥b-

(a+1)2

4

，
即A={x|x≥b-

(a+1)2

4

}；
由B中的x=-t²-（a-1）t-b=-[t²+（a-1）t+

(a−1)2

4

]+

(a−1)2

4

-b=-（t+

a−1

2

）²+

(a−1)2

4

-b≤

(a−1)2

4

-b，
即B={x|x≤

(a−1)2

4

-b}，
∵A∩B={x|-1≤x≤2}，
∴

b− (a+1)2 4 ＝−1 (a−1)2 4 −b＝2

，
解得：a=-1，b=-1．

利用二次函数性质求出集合A与B中x的范围，根据A与B的交集即可求出a与b的值．

本题考点：交集及其运算．

考点点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．