题目

反证法证明题
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证：a,b,c,d中至少有一个是负数

提问时间：2020-12-30

答案

证：假设a,b,c,d中没有负数,即a>=0,b>=0,c>=0,d>=0.
显然由假设可得,ad>=0,bc>=0,即ad+bc>=0…………（*）.
由a+b=1,c+d=1,将两式相乘,可得
ac+ad+bc+bd=1,
即ad+bc=1-(ac+bd),
因为ac+bd>1,
所以1-(ac+bd)<0,
即ad+bc<0,这与（*）式矛盾!
故假设不成立,
所以a,b,c,d中至少有一个是负数.