题目

求证F（x）=x的n次的导数为n倍x的n-1次 用导数的定义做

提问时间：2020-12-30

答案

f '(x) = lim[ f(x + △x) - f(x) ] / △x
f(x + △x) - f(x)
= (x + △x)^n - x^n
= C(n,n)x^n·(△x)^0 + C(n-1,n)x^(n-1)·(△x)^1 + C(n-2,n)x^(n-2)·(△x)^2 + ...+C(0,n)x^0·(△x)^n -x^n
= C(n-1,n)x^(n-1)·(△x)^1 + C(n-2,n)x^(n-2)·(△x)^2 + ...+C(0,n)x^0·(△x)^n
则有
[ f(x + △x) - f(x) ] / △x
= C(n-1,n)x^(n-1) + C(n-2,n)x^(n-2)·(△x)^1 + ...+C(0,n)x^0·(△x)^(n-1)
从上式可以看到除了第一项外,在△x趋近于0时,后面所有的项都等于0
因此原极限就是C(n-1,n)x^(n-1) = nx^(n-1)
C(n-1,n)是组合.上面就是用到了二项式定理展开的.