题目

已知二次函数y=x²+bx+c的图象过点M（0，-3），并与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁²+x₂²=10．试求这个二次函数的解析式．

提问时间：2020-12-30

答案

∵函数y=x²+bx+c图象过点（0，-3），
∴c=-3，
∴函数解析式为y=x²+bx-3，
又∵该二次函数图象与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，所以方程x²+bx-3=0的两个根分别为x₁，x₂，
则有

x1+x2＝−b x1x2＝−3 x12+x22＝10

．
解得b=±2，
∴二次函数为y=x²+2x-3或y=x²-2x-3．

本题是用待定系数法求二次函数的解析式，由图象过点M（0，-3），可知c=-3，图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，就相当于方程x²+bx-3=0两个根分别为x₁，x₂，由两根关系求解代入二次函数即可．

本题考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

考点点评：二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；与y轴的交点就是二次函数c的值；注意使用一元二次方程根与系数的关系求解关于两根的问题．