题目

把函数y=sin(2x+4圆周率/3)的图象向右平移k(k>0)个单位,所得图象关于Y轴对称,则的最小值为

提问时间：2020-12-30

答案

函数y=sin(2x+4π/3)的图像向右平移k(k>0)个单位个单位后得到的图像为
y=sin(2(x-k)+4π/3)=sin(2x-2k+4π/3)
所得图象关于y轴对称,说明sin(2x-2k+4π/3)=±cos2x,
根据诱导公式可知：-2k+4π/3=nπ+π/2（n为整数）
所以k= -nπ/2+5π/12,
所以k最小值为5π/12,此时k=0.
【另法】
向右平移k个单位
f(x)= y=sin(2(x-k)+4π/3)=sin(2x-2k+4π/3)
关于y轴对称
则f(-x)=f(x)
所以sin(-2x-2k+4π/3)= sin(2x-2k+4π/3)
即sin[(-2k+4π/3) -2x] = sin[(-2k+4π/3) +2x]
利用和差公式展开得：
sin(-2k+4π/3)cos2x- cos(-2k+4π/3) sin2x
= sin(-2k+4π/3)cos2x+cos(-2k+4π/3) sin2x,
移项得：2cos(-2k+4π/3) sin2x=0,
cos(-2k+4π/3) sin2x=0,
该式对任意x都成立,所以cos(-2k+4π/3) =0,
则-2k+4π/3=nπ+π/2（n为整数）
所以k= -nπ/2+5π/12,
所以k最小值为5π/12,此时k=0.