题目

一道高中物理题（力学的）今天要结果ing...
前面一对废话就不写了
空间探测器要飞向火星等其它行星,甚至飞出太阳系,首先要客服地球对它的引力的作用.理论研究表明,由于物体在地球附近受到地球附近受到地球对它的万有引力的作用,具有引力势能.
（1）若行星的平均密度是ρ,靠近行星表面做圆周运动的卫星运转周期是T,试证明：ρT²是个常量,即对任何行星都相同
（2）设质量为m的物体在距地球无限远处的引力势能为零,则引力势能表达式为：Ep=-GMm/r,式中G是引力常量,M是地球的质量,r是该物体距地心的距离.现有一个质量为m的空间探测器绕地球做匀速圆周运动,运行周期为T,已知地球半径为Ro,地面附近的重力加速度为go.该探测器做匀速圆周运动时的机械能（用m、go、Ro、T表示）
（3）在（2）的情形下,要使这个空间探测器从运行轨道上出发,脱离地球的引力作用,至少要对它做多少功?

提问时间：2020-12-30

答案

(1)
M=ρ*(4/3π*r^3)
F=GMm/r^2=Gρ*(4/3π*r^3)/r^2=4/3Gπmρr
ω=2π/T
F=mrω^2=mr*(2π/T)^2=4π^2*mr/T^2
4/3Gπmρr=4π^2*mr/T^2
ρT^2=3π/G
(2)
GMm/r^2=4π^2*mr/T^2
GM=4π^2*r^3/T^2
mgo=GMm/Ro^2
GM=go*Ro^2
go*Ro^2=4π^2*r^3/T^2
r=[go*Ro^2*T^2/(4π^2)]^(1/3)
GMm/r^2=mv^2/r
v^2=go*Ro^2/r
Er=0.5mv^2-GMm/r=0.5m*go*Ro^2/r-m*go*Ro^2/r=-0.5m*go*Ro^2/[go*Ro^2*T^2/(4π^2)]^(1/3)
(3)
W=Ep-Er=0-{-0.5m*go*Ro^2/[go*Ro^2*T^2/(4π^2)]^(1/3)}=0.5m*go*Ro^2/[go*Ro^2*T^2/(4π^2)]^(1/3)