题目

求证：x^7+7,xεN,不可能是完全平方数
如题,偶数自己已证,请高手求证全部奇数（部分自己也证好了）

提问时间：2020-12-29

答案

用反证法~
设n^7+7=x^2对于(n,x)成立
(1)若n为偶数,则x^2≡3(mod4),不可能,即n为奇数
(2)因为4│n^7+7,所以n≡1(mod4)
(3)x^2+11^2=n^7+128=(n+2)(n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64)
!如果11不能整除x,
因为x^2+11^2的每一个质因子p都是奇数,若p≡3(mod4),则由x^2≡-11^2(modp)可得x^(p-1)≡-11^(p-1)≡-1(modp),不可能,
所以对于x^2+11^2的任意质因子p都有p≡1(mod4)
但是因为n+2│x^2+11^2,而n+2≡3(mod4),与p≡1(mod4)矛盾.
!如果11可以整除x,设x=11y,则上式可表示为
121(y^2+1)=(n+2)(n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64),
将n≡0,±1,±2,±3,±4,±5代入n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64验证知其不为11的倍数,
所以有121│n+2,既有
y^2+1=((n+2)/121)(n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64)
同上可以证明y^2+1每一个质因子p≡1(mod4),但是由((n+2)/121)≡3(mod4)知其矛盾
综上,n^7+7不是完全平方数.
(别人的证明,供你参考）