题目

求过点p1(4,2,1)p2(2,3,0)p3(0,1,0)的平面方程
一定要写清楚过程

提问时间：2020-12-29

答案

这道题应该不难,答案是x-y-3z+1=0
平面的方程可以设为Ax+By+Cz+D=0,这是一个定理.
也就是说三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示一个平面
一个平面一定能写成一个三元一次方程,它们之间是等价.
就好象直线方程可以写成Ax+By+c=0一样
接下来就把三个点的坐标代入x,y,z
用待定系数法去求.代入得到三个方程分别是
4A+2B+C+D=0
2A+3B+D=0
B+D=0
整理一下得到A+B=0
4A+B+C=0
那么,两条方程要解出A,B,C,D这四个数,是不能的.
但我们只要求出A,B,C,D这四个数的最简比就行了.
由第一条方程知B=-A,代入第二条方程得C=-3A,D=A
所以A,B,C,D的比为1：-1：-3:1
所以A=1,B=-1,C=-3,D=1
为什么知道A,B,C,D的比例之后,就可以直接认为A=1,B=-1,C=-3,D=1,
这是因为A,B,C,D无论取值如何,都遵循这一个比例,假设A,B,C,D有其它取值的话,也无非是A=1,B=-1,C=-3,D=1这四个数的倍数,代入方程之后,最终还是约分约掉.所以没有必要知道A,B,C,D的具体取值,而只要知道他们的比例即可.
所以方程为x-y-3z+1=0