题目

∫(x^0.5)/(1+x^2)dx如何积分啊?
我积到原式=∫1/(1+x^4)dx就做不下去了,
可能漏了正负号吧，因为原先是定积分，上下限打不出就改为定积分了。我是先令x^0.5=t，再令t=1/a算到=∫1/(1+x^4)dx。
不好意思啊，分部积分我也想到过，但是还是用不上啊~

提问时间：2020-12-29

答案

设t=x^0.5
x=t^2
dx=2tdt
原式=∫2t^2/(1+t^4)dt
然后用分部积分法
提示一下:2t^2/(1+t^4)=2t^2/(1+t^4-2t^2+2t^2)
=2t^2/((1+t^2)^2-2t^2)
=2t^2/[(1+(√2)t+t^2)(1-(√2)t+t^2)]
=2t^2*{1/((2√2)t)[1/(1-(√2)t+t^2)-1/(1+(√2)t+t^2)
=(t/√2)/(1-(√2)t+t^2)-(t/√2)/(1+(√2)t+t^2)
分解为两项,这是x/(c+bx+ax^2)的形式,对每一项求积分就行了,
数学分析教材中讲过所有有理函数的一般积分方法