题目

设有两个命题p、q，其中命题p：对于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立；命题q：f（x）=（4a-3）^x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-12-29

答案

若命题p：对于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立
当a=0时，2x+1＞0不恒成立； 
当

a＞0 △＝4−4a＜0

时⇔a＞1．
所以命题p为真命题⇔a＞1．
命题q为真命题⇔0＜4a-3＜1⇔

3

4

＜a＜1．
∵两个命题中有且只有一个是真命题
若p为真命题，q为假命题，a＞1； 
若p为假命题，q为真命题，

3

4

＜a＜1；
∴a的取值范围是（

3

4

，1）∪（1，+∞）
故答案为：（

3

4

，1）∪（1，+∞）

根据二次函数的性质，我们可得不等式ax²+2x+1＞0恒成立时，a的取值范围，根据指数函数的单调性我们可得f（x）=（4a-3）^x在R上为减函数时，a的取值范围，进而根据两个命题中有且只有一个是真命题，分p为真命题，q为假命题，和p为假命题，q为真命题两种情况讨论可得实数a的取值范围

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，二次函数的图象和性质及指数函数的图象和性质，其中根据函数性质分析出两个命题对应的a的取值范围是解答的关键．