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题目
判断函数y=x+2/x+1单调性,并证明

提问时间:2020-12-29

答案
本题可采用两种解法,定义法和微分法
解法一(微分法)
由y = (x+2)/(x+1)可知函数的定义域是x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)
对y = (x+2)/(x+1)求一阶导数是
y!= -[1/(x+1)2] <0
即函数y = (x+2)/(x+1),定义x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)上
y!<0
∴函数y = (x+2)/(x+1),定义x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)上
是减函数
解法二(定义法)
X1 ,X2是定义在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上的任意两个
数,且X1 < ,X2
由Y =(x+2)/(x+1)知
Y2-Y1=[( X2+2)/( X2+1)]- [( X1+2)/( X1+1)]
=(X1 -X2)/( X1+1)×( X2+1)
Y2-Y1=(X1 -X2)/( X1+1)×( X2+1)
⑴ 当X1 ,X2是定义在(-∞,-1),X1 < ,X2时
X1 -X2<0,( X1+1)<0,( X2+1)<0
∴Y2-Y1=[(X1 -X2)/( X1+1)×( X2+1)]<0
Y2<Y1
即当X1 ,X2是定义在(-∞,-1),X1 < ,X2时,Y2<Y1
∴Y =(x+2)/(x+1),在(-∞,-1)是减函数
⑵当X1 ,X2是定义在(-1,+∞),X1 < ,X2时
X1 -X2<0,( X1+1)>0,( X2+1) >0
∴Y2-Y1=[(X1 -X2)/( X1+1)×( X2+1)]<0
Y2<Y1
即当X1 ,X2是定义在(-1,+∞),X1 < ,X2时,Y2<Y1
∴Y =(x+2)/(x+1),在(-1,+∞)是减函数
综合⑴ ,⑵得知
函数Y =(x+2)/(x+1) 定义在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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