题目

这是一个常见的化定积分的求极限问题,具体例子如下：.n lim1/n ∑ sin(kπ/n） = s【0,1】sin
我的问题是：如果将kπ/n作为x,那么被积函数就是sinx,积分区间变为[0,π],那么该如何求呢,我用这种转化方法试了一下,得出的结果为什么不对?上面的的结果为2/π,而按照我说的转化方法得到的是2.我是一名考研的学生,想追跟到底,究竟我错在哪里呢?

提问时间：2020-12-29

答案

楼主的例子写得好抽象= = !
我们将区间分为n个小区间每个区间均为1/n
lim1/n ∑ sin(kπ/n)的极限等于面积 其中变量应该是k而不是n n的取值只是影响面求极限后积精确度 所以把n看做一个常数 因为所求的图形已经确定而n的取值又影响到了k的取值范围 所以我们把k/n看做一个变量整体 k/n的取值范围是1/n~n/n也就是0~1 将kπ/n=x相当于将uπ=x而u属于0~1
相当于变量换成x而x属于0~π(重点你的问题出在换成x以后是d(x/π)而不是d(x))
如果要写作积分模式的话就是∫sin(πu)du在0~1的定积分 或者是∫sin(x)d(x/π)在0~π的定积分
楼上这位仁兄说的意思就是,换了积分区间那么积分区间的单位也要作对应改变.我说的应该很具体了………………