题目

向量什么三角不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的证明.

提问时间：2020-12-29

答案

你给的这个向量不等式,可以根据三角形的三角不等式进行证明.
三角不等式：△ABC中,三边满足不等式：
　　|a - b| < c < a + b；　　　　　　　　　　　　　①
即：三角形中的任意一边,大于其余两边之差,小于这两边之和.
（注：上面的 a、b、c 都是边长,是数量；下面讨论中的a、b、c 都是向量）
对于你给的不等式,可以拆分为两个,要分别证明：
　　|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|；　　　　　　　　　　②
　　|a| - |b| ≤ |a- b| ≤ |a| + |b|；　　　　　　　　　　③
1、证明 ② 式：
　　需分两种情况讨论：
（1）两向量不共线；
　　此时,将a、b首尾相接,可形成一个三角形的两边.而它们的向量之和：a+b,恰好是这个三角形的第三条边,记作：c；根据①式有：
　　｜|a| - |b|｜ < |c| < |a| + |b|；　　　　　　　　　　④
其中,c= a + b；而根据“一个数的绝对值,肯定不小于这个数本身”可知：
　　|a| - |b| ≤ ｜|a| - |b|｜
将上面的式子代入 ④ 式,可知：
　　|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b|；
显然,该式满足不等式 ②；
（2）两向量共线；
　　此时,若将a、b首尾相接,得到的合向量的长度只有两种值：
1）|a+b| = |a| + |b|；
2）|a+b| = ｜|a| - |b|｜；
　　而这两个式子也都满足 ②.
综合（1）、（2）可知,不等式 ② 对于任何两个向量都成立.
2、证明 ③ 式：
　　对于 ③ 式,可以将其转换为 ② 式的形式,然后予以证明：
设向量 x= -b；则 ③ 式变为：
　　|a| - |-x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |-x|；
因为负向量的绝对值与正向量相等,所以上式等价于：
　　|a| - |x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |x|；　　　　　　　　　　　　⑤
显然,⑤ 式符合 ② 式,所以成立；而 ⑤ 式又等价于 ③ 式,所以 ③ 式也成立.
综合 1、2,可证明你给的不等式对于任何两个向量都成立.