题目

已知函数f（x）=x³-tx²+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）
A. （-∞，3]
B. （-∞，5]
C. [3，+∞）
D. [5，+∞）

提问时间：2020-12-29

答案

∵函数f（x）=x³-tx²+3x，f′（x）=3x²-2tx+3，
若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，
则f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，
∴

f′(1)＝3−2t+3≤0 f′(3)＝27−6t+3≤0

，解得t≥5，
故选D．

由题意可得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．