题目

已知数列{a_n}的前n项和S_n是n的二次函数，且a₁=-2，a₂=2，a₃=6．
（1）求S_n的表达式；    
（2）求通项a_n．

提问时间：2020-12-28

答案

（1）设Sn＝ax2+bx+c(a≠0)．
∵a₁=-2，a₂=2，a₃=6．
∴

−2＝a+b+c −2+2＝4a+2b+c −2+2+6＝9a+3b+c

解得

a＝2 b＝−4 c＝0

∴Sn＝2n2−4n．
（2）∵a₁=S₁=2-4=-2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-4n-[2（n-1）²-4（n-1）]=4n-6．
当n=1时，也成立．
∴an＝4n−6，(n∈N*)．

（1）设Sn＝ax2+bx+c(a≠0)．利用a₁=-2，a₂=2，a₃=6．可得

−2＝a+b+c −2+2＝4a+2b+c −2+2+6＝9a+3b+c

解出即可．
（2）当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．

本题考点：等差数列的前n项和．

考点点评：本题考查了二次函数的解析式、“待定系数法”、利用“当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求数列的通项公式，属于中档题．