题目

统计学原理抽样估计计算题
某地区对居民用于某类消费品的年支出数额进行了一次抽样调查,抽取了900户居民,调查得到的平均每户支出数额为550元,标准差为107元,支出额在800元以上的有180户,试在95%（Za/2=1.96)的置信水平下估计：
1.平均每户支出额的区间?
2.支出额在800元以上户数所占比重的区间?

提问时间：2020-12-28

答案

这道题需要注意的是,家庭支出额很有可能不是正态分布,由于可能出现两个极端：收入少者支出极少,而高收入者支出很大.不过,对于平均每户支出额区间的计算,按照中心极限定理,在样本量比较大的情况下（大于50）,样本均值的分布是接近正态分布的,因此有：
1、
每户支出额平均值的下限=平均值 - （标准差/SQRT(样本量)）×Za/2=550-107/SQRT(900)*1.96=543.01
每户支出额平均值的上限=平均值 + （标准差/SQRT(样本量)）×Za/2=550+107SQRT(900)*1.96=556.99
【*代表乘号,^代表乘方号,sqrt代表开平方】
你将我的数字公式复制、粘贴至Excel的公式编辑栏中就可以直接得到计算结果.
你的“平均每户支出额的区间”这个说法有点含混不清!每户支出额平均值的区间就按照我上面的计算公式计算,得出的结果的意思就是该地区居民支出的平均值有95%的概率介于543.01--556.99之间,注意这里仅仅对该地区的平均值进行估计!
但是,如果要估计该地区居民支出的95%覆盖范围,则这条题目给出的条件是不够的,除非另外加上一条：居民支出情况服从正态分布,那么就可以按照下面的公式计算：
支出额的下限=平均值 - 标准差×Za/2=550-107*1.96=340.28
支出额的上限=平均值 + 标准差×Za/2=550+107*1.96=759.72
这个结果表明,95%的居民支出位于340.28--759.72之间（假如居民支出情况服从正态分布的话）.不过,事实上,你的题目明显不符合正态分布这个假设.
2、由于每户支出额不服从正态分布,因此不能按均值正负2个标准出的公式计算支出的95%置信区间,而应该按实际情况：支出额在800元以上的有180户,那么180/800=0.225=22.5%.在对这个比率计算95%置信区间：
按二项分布的正态近似公式：
样本标准差=sqrt(0.225*(1-0.225))=0.417582327
平均值的标准误=0.417582327/sqrt(900)=0.0139194109
支出额在800元以上户数所占比重的区间的下限=0.225-0.0139194109*1.96=0.1977=19.77%
支出额在800元以上户数所占比重的区间的上限=0.225+0.0139194109*1.96=0.2523=25.23%