题目

已知二次函数图像过（-1 0）,问是否存在常数abc使X≤fx≤1/2（x^2+1)对一切实数X都成立?

提问时间：2020-12-28

答案

将x=1代入不等式得：1<=f(1)<=1,故f(1)=1
（为什么要选x=1呢?目的就是代入的数要使不等式的左右相等,即（x^2+1)/2=x,解得x=1）
设二次方程的解析式为f(x)=ax^2+bx+c将f(-1)=0及
f(1)=1代入方程得：
a-b+c=0 (1)
a+b+c=1 (2)
由(1)(2)解得b=1/2,a+c=1/2 (3)
由不等式可知：f(x)-x=ax^2-1/2x+c>=0 (4)
由(4)得a>0且（-1/2)^2-4ac<=0(判别式）即ab>=1/16 (5)
将（3）代入（5）得
a（1/2-a）>=1/16 化简得
（4a-1）^2<=0故a=1/4
所以最终的解析式为 f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4