题目

设二次函数f（x）=ax∧2+bx+c,满足f（x+1）=2x+f（x）
（1）若f（0）=1,求f（x）的解析式
（2）若c＜1／2,且f（x）在【c,c+1】上有最少值0,求c的值
（3）若f（x）的两个零点都大于-1,求实数c的范围

提问时间：2020-12-28

答案

因为f（x）=ax∧2+bx+c满足f（x+1）=2x+f（x）
所以a（x+1）^2+b（x+1）+c=2x+ax^2+bx+c
所以2ax+a+b=2x对任意x都成立
所以a=1,且a+b=0,所以b=-1
又因为f（0）=1,所以c=1
所以f（x）=x^2-x+1.
若c＜1／2,
若c+1>1／2,则f（x）min=f（1/2）=1/4-1/2+c=0
所以c=1/2,不符合题意.
若c+1<1／2,则f（x）min=f（c+1）=（c+1）^2-(c+1)+c=0
解得c=0或者c=-2
其中只有c=-2符合题意.
所以c=-2.
因为f（x）的两个零点都大于-1,所以g（x）=f(x)+1=x^2-x+1+c的两个零点x1,x2都大于0
所以x1*x2=1+c>0 且Δ=1-4(1+C)≥0
解得-1当c=-3/4时,g(X)有两个相同的零点x1=x2=1/2,都大于0.