题目

是求如何证明实对称矩阵合同的充要条件是他们有相同的正负惯性指数
如何证明实对称矩阵合同的充要条件是他们有相同的正负惯性指数

提问时间：2020-12-28

答案

充分性：
设X,Y是两个实对称矩阵,设他们有相同的惯性指数,则X、Y有相同的规范式A,即存在可逆矩阵C、P使得C'XC=A、P'YP=A即(P^-1)'C'XC(P^-1)=[C(P^-1)]'X[(p^-1)C]=Y,所以X、Y合同.
必要性：
设X,Y是两个合同的实对称矩阵,即C'XC=Y；有Y与其规范式A合同,即P'YP=A.
所以P'(C'XC)P=A,即(CP)'X(CP)=A,此即表示X也合同于规范式A.所以X、Y有相同的规范式,即有相同的正负惯性指数.
证毕!