题目

一道高三均值不等式题
用均值不等式解a³+b³≥2ab²
均值不等式中要求一正二定三等号,“定”是指在求最值时积为定值,还是只要用到均值不等式就需“定”?
有点看不懂，我还没学sqrt，请讲解一下均值不等式中积为定值在何时用，何时可不考虑。

提问时间：2020-12-28

答案

这个题是能够求解的,运用均值不等式在放缩的时候放所得部分为对称式,显然这个题目不是的,不过是能够解出来的,实际上这个不等式不是对任意ab成立,比如a=10,b=11就不成立
题目的愿意应该是ab均是正数然后求解满足这个不等式a,b满足的条件
那么a³+b³≥2ab²(a/b)^3+1>=2a/b
(a/b)^3-2(a/b)+1>=0
(a/b-1)((a/b)^2+a/b-1)>=0
(a/b-1)(a/b-(sqrt(5)-1)/2)(a/b+(sqrt(5)+1)/2))>=0
根据a/b>0 =>a/b>1或者0=2*sqrt(x*1/x)=2但是显然取不到等号,这个时候便不能够用均值不等式,只能采用函数思想,很容易可以得到在x>3时x+1/x是单调递增的,得到最小值为10/3
要注意均值不等式只是一种估计函数值的方法