题目

已知A.B为抛物线x2=2py(p＞0)上两点,直线AB过焦点F,A,B在准线上的射影分别为C,D,则存在实数 λ 使得向量AD= λ 向量AO

提问时间：2020-12-28

答案

已知A.B为抛物线x²=2py(p＞0)上两点,直线AB过焦点F,A,B在准线上的射影分别为C,D,则存在实数 λ 使得向量AD= λ 向量AO ,试予以证明.
证明：焦点F(0,p/2)；准线：y=-p/2.
这是要证明A、O、D三点共线.
设过焦点的直线方程为y=kx+p/2；代入抛物线方程得x²-2p(kx+p/2)=x²-2kpx-p²=0
设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂ )；则x₁+x₂=2kp；x₁x₂=-p²；(设x₁>0>x₂)；故x₂=-p²/x₁；
已知O(0,0),D(x₂,-p/2)；
于是AO所在直线的斜率KOA=y₁/x₁=(x²₁/2p)/x₁=x₁/2p；
OD所在直线的斜率KOD=-(P/2)/x₂=-P/2x₂=-P/(-2P²/x₁)=x₁/2P；
∴KOA=KOD,且OA与OD有一个公共点O,故A、O、D三点在一条直线上,故存在实数λ,使
得等式AD=λAO成立.故证.