题目
f(x)在x=0处可导,有F(x)=f(x)(1+|sin x|),则证明F(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0
提问时间:2020-12-27
答案
F(x)=f(x)(1+|sin x|),F(0) = f(0)
F'(0) = lim (x->0) [F(x) - F(0)] / x
= lim (x->0) [ f(x)*(1+|sinx| ) - f(0) ] / x
= lim (x->0) [ f(x) - f(0) ] / x + lim (x->0) f(x) * |sinx| / x
= f '(0) + lim (x->0) f(x)* |sinx| / x
lim (x->0+)|sinx| / x = 1,lim (x->0-) |sinx| / x = -1
于是 lim (x->0) f(x)* |sinx| / x 存在 lim (x->0) f(x) = 0
f(x)在x=0处可导,必连续,故 lim (x->0) f(x) = f(0) = 0
即 F(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0.
F'(0) = lim (x->0) [F(x) - F(0)] / x
= lim (x->0) [ f(x)*(1+|sinx| ) - f(0) ] / x
= lim (x->0) [ f(x) - f(0) ] / x + lim (x->0) f(x) * |sinx| / x
= f '(0) + lim (x->0) f(x)* |sinx| / x
lim (x->0+)|sinx| / x = 1,lim (x->0-) |sinx| / x = -1
于是 lim (x->0) f(x)* |sinx| / x 存在 lim (x->0) f(x) = 0
f(x)在x=0处可导,必连续,故 lim (x->0) f(x) = f(0) = 0
即 F(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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