题目

已知S₁=a+b,S₂=a²+b²,S³=a³+b³,a+b=1,ab=-1,求S³的值,并写出S₄,S5的值,Sn,Sn-1,Sn-2之间有什么关系?

提问时间：2020-12-27

答案

由S₁=a+b=1,ab=-1,得 S₂=a²+b²=(a+b)²-2ab=3
S³=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=4 (个人以为S³应该是S₃)
由观察,可得 Sn=aⁿ+bⁿ
S₄=a⁴+b⁴=(a²+b²)²-2(ab)²=7
S5=a^5+b^5=(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)=8-ab(a²+b²)=11
n为整数且n≥3时,Sn-S(n-1)=Sn-(a+b)S(n-1)[因为a+b=1]
=aⁿ+bⁿ-[a^(n-1)+b^(n-1)](a+b)
=-a^(n-1)b-ab^(n-1)=-ab[a^(n-2)+b^(n-2)]
=a^(n-2)+b^(n-2)[因为ab=-1]=S(n-2)
故 Sn=S(n-1)+S(n-2)(n为整数且n≥3时)