题目

在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形．

提问时间：2020-12-27

答案

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
则四边形AECF为矩形．

由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，可得出OA=OC，对边AE平行于FC，由两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由对顶角相等，利用ASA可得出三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AE=FC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出AECF为平行四边形，再由AF垂直于BC，得到∠AFC为直角，根据一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AECF为矩形，得证．

本题考点：矩形的判定；平行四边形的性质．

考点点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．