题目

容器A中有12%食盐水300克,容器B中有6%的食盐水300克.现约定完成下列工作程序进行一次操作:从A,B两个容器中各取100克溶液,然后将A中取出的溶液倒入B中,将B中取出的溶液倒入A中.(1)经过n次操作后,设容器A,B中的食盐分别为an bn,试归纳an+1与an的递推式（2）.求证：随着n的增大,an能趋于稳定在27

提问时间：2020-12-27

答案

第二题An=36*(2/3)的n次+36*(1/3)的n次方+4n,(n>1),n为1时An是分两种的An和Bn的通项表达式为
An=27（1+1/3^n)
Bn=27（1-1/3^n)
2>
证：设经n次操作后,设容器A,B中的食盐水中所含食盐分别为an%和bn%,A,B容器中总的质量不变
则总的食盐量为 (an%+bn%)*300＝300*（12%+6%）
即 an%+bn%=18% (1)
设经n-1次操作后,设容器A,B中的食盐水中所含食盐分别为a（n-1）%和b（n-1）%
an%=(a(n-1)*200+b(n-1)*100)/300 (2)
bn%=(b(n-1)*200+a(n-1)*100)/300 (3)
联立（1）（2）可得：
3an=a(n-1)+18
an-9=(a(n-1)-9)/3
即{an-9}是首项为（a1-9）,公比为1/3的等比数列
an=9+1/3^(n-1)
bn=9-1/3^(n-1)