题目

（1）已知椭圆x^2+4y^2=16求过点P（1,1）且被P平分的弦所在的直线方程.
（2）已知过点P（1,1）的直线与椭圆x^2+4y^2=16相交于A、B两点,求AB中点的轨迹方程

提问时间：2020-12-26

答案

1、
设为y-1=k(x-1)
y=kx+(1-k)
代入
(1+4k²)x²+8k(1-k)x+4(1-k)²-16=0
中点横坐标是(x1+x2)/2=-4k(1-k)/(1+4k²)=1
-4k+4k²=1+4k²
k=-1/4
所以是x+4y-5=0
2、
设为y-1=k(x-1)
y=kx+(1-k)
代入
(1+4k²)x²+8k(1-k)x+4(1-k)²-16=0
x=(x1+x2)/2=-4k(1-k)/(1+4k²)
y=kx+(1-k)
y=(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+(1-k)
=(1-k)/(1+4k²)
所以x/y=-4k
因为y-1=k(x-1)
所以x/y=-4(y-1)/(x-1)
x²-x=-4y²+4y
x²+4y²-x-4y=0