题目

如图，过O、M（1，1）的动圆⊙O₁交y轴、x轴于A、B，求OA+OB的值．

提问时间：2020-12-26

答案

过点M作ME⊥y轴，MF⊥x轴，连接AM，BM，
∵∠MEO=∠EOB=∠MFO=90°，
∴四边形EMFO为矩形，
∵M（1，1），
∴ME=MF，
∴矩形EMFO为正方形，
∵∠EOB=90°，
∴∠AMB=90°，
∴∠AME+∠EMB=90°，∠EMB+∠BMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME＝∠BMF EM＝FM ∠AEM＝∠BFM

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴AE=BF，
∵OA=OE+AE，OB=OF-BF，
∴OA+OB=OE+AE+OF-BF=OE+OF=2．

首先过点M作ME⊥y轴，MF⊥x轴，连接AM，BM，易证得四边形EMFO为正方形，继而可证得△AME≌△BMF，则可得AE=BF，又由OA=OE+AE，OB=OF-BF，可得OA+OB=OE+AE+OF-BF=OE+OF=2．

本题考点：圆周角定理；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．