题目

已知数列an的前n项和Sn=n2+n,数列bn满足,bn=1,bn+1=2bn+1,1.求数列an和bn的通项公式
2.设cn=an*bn,求数列cn的前n项和Tn

提问时间：2020-12-26

答案

解析,
Sn=n²+n
a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2n,
因此,an=2n(n≥1).
b(n+1)=2bn+1
b(n+1)+1=2(bn+1),故,b(n)+1是以b1+1为首项,公比是2的等比数列,
b1+1=2,
bn+1=2^n,
因此,bn=2^n-1
cn=an*bn=n*2^(n+1)-2n
Cn=c1+c2+……+cn
=1×2²+2×2³+3×2^4+……+n×2^(n+1)-2(1+2+……+n)
又,1+2+……+n=n(n+1)/2,
设Dn=1×2²+2×2³+3×2^4+……+n×2^(n+1)【1】
那么,2Dn=1×2³+2×2^4+……+(n-1)×2^(n+1)+n×2^(n+2)【2】
【1】-【2】错位相减
-Dn=2²+2³+2^4+2^5+……+2^(n+1)-n×2^(n+2)
=2^(n+2)-n×2^(n+2)-4
那么,Dn=(n-1)*2^(n+2)+4
故,Cn=Dn-n(n+1)=(n-1)*2^(n+2)-n²-n+4.