题目

圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

提问时间：2020-12-26

答案

先说圆内接四边形对角互补：
A、B、C、D顺次排列在圆周上,顺次连接四点,得圆内接四边形ABCD
连接OA、OC.
∠ABC为弧AC所对圆周角（假设弧AC为劣弧）,∠AOC为弧AC所对圆心角
因此∠ABC=∠AOC
∠ADC为优弧ABC所对圆周角,∠AOC（大于180度,与刚才所说∠AOC和为360度）为优弧ABC所对圆心角
因此∠ADC=∠AOC（大于180度的）/2
因为两圆心角和为360度,所以∠ABC+∠ADC=180.此即圆内接四边形对角互补.
同理可证,∠BAD+∠BCD=180
再说外角和内对角：
圆内接四边形ABCD,延长AB到点E.则∠CBE为四边形外角.
它相邻的内角为∠ABC,∠ABC的对角为∠ADC
因此∠ADC就是∠CBE的内对角
因为,∠CBE+∠ABC=180
且已证,∠ADC+∠ABC=180
因此,∠CBE=∠ADC
此即外角等于它的内对角