题目

f（x）是x的3次多项式,若lim(x——1)[f(x)/(x-1)]=lim(x——0)[f(x)/x]=1...
f（x）是x的3次多项式,若lim(x——1)[f(x)/(x-1)]=lim(x——0)[f(x)/x]=1
求f(x)
求f(x)在x0=3的泰勒展开式.

提问时间：2020-12-26

答案

由：lim(x——1)[f(x)/(x-1)]=1,知道：
f(x)=(x-1)f1(x);且f1(1)=1
由：lim(x——0)[f(x)/x]=1
f(x)=xf2(x),且f2(0)=1
所以,可设：f(x)=x(x-1)(ax+b)；（f为3次多项式）
所以：f1(x)=x(ax+b)
f1(1)=a+b=1
f2(x)=(x-1)(ax+b)
f2(0)=(-1)b=-b=1
所以：a=2,b=-1
f(x)=x(x-1)(2x-1)=2x³-3x²+x,f(3)=30
f'(x)=6x²-6x+1,f'(3)=37
f''(x)=12x-6,f''(3)=30
f'''(x)=12
所以,f(x)在x0=3的泰勒展开式为：
f(x)=f(3)+f'(3)(x-3)+f''(3)/2(x-3)²+f'''(3)/6(x-3)³
=30+37(x-3)+15(x-3)²2(x-3)³