题目

椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[

π

12

，

π

4

]，则椭圆的离心率的取值范围为 ___ ．

提问时间：2020-12-26

答案

∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴

c

a

=

1

sinα+cosα

即e=

1

sinα+cosα

=

1

2 (sin(α+ π 4 )

∵a∈[

π

12

，

π

4

]，
∴

π

3

≤α+π/4≤

π

2

∴

3

2

≤sin（α+

π

4

）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

故答案为[

2

2

，

6

3

]

设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出

c

a

即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．