题目

证明函数在区间内存在零点
具体题是这样的：已知函数f(x)=4x^3+3tx^2-6t^2+t-1,其中t>1,证明f(x)在区间（0,1）内存在零点
那么不仅仅局限于此题,如何证明函数在某区间内存在零点呢?
并且请将此具体题目的详细过程回答上 跪谢!

提问时间：2020-12-26

答案

先对f(x)求导得12x^2+6tx-6t^2
令导数为0 -t,t/2
讨论t的正负
1）当t>0时,减区间为：（-t,t/2）；增区间为：t/2到正无穷大和负无穷到-t
2）证明：由（II）可知,当t＞0时,f（x）在（0,t／2）内单调递减,在（t／2,+∞）内单调递增,以下分两种情况讨论：
（1）当t／2≥1,即t≥2时,f（x）在（0,1）内单调递减．
f（0）=t-1＞0,f（1）=-6t 2 +4t+3≤-13＜0
所以对于任意t∈[2,+∞）,f（x）在区间（0,1）内均存在零点．
（2）当0＜t／2＜1,即0＜t＜2时,f（x）在（0,t／2）内单调递减,在（t／2,1）内单调递增
若t∈（0,1],f（t／2）=7／4t^3+t-1≤7／4t^3＜0,
f（1）=）=-6t 2 +4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（t／2,1）内存在零点．
若t∈（1,2）,f（t／2）=7／4t^3+t-1＜7／4t^3+1＜0,
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0,t／2）内存在零点．
所以,对任意t∈（0,2）,f（x）在区间（0,1）内均存在零点．
综上,对于任意t∈（0,+∞）,f（x）在区间（0,1）内均存在零点．
一般就是两个解得到,x1左边带一个数,右边带一个数,要一正一负,那么就存在零点了
辛苦打字,祝你学习愉快