题目

已知{an}是正数组成的数列 a1=1 且点（根号an ,a(n+1)）在函数y=x^2+2的图像上
（1）求数列{an}的通项公式
（2）若数列{bn}满足b1=2,b(n+1)=bn+2^a(n+1),求bn

提问时间：2020-12-26

答案

（1）点（根号an ,a(n+1)）在函数y=x^2+2的图像上,则
a(n+1)=(√an)²+2=an+2,∴a(n+1)-an=2
∴an是公差为2等差数列,an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1
（2）设cn=b(n+1)-bn,由b(n+1)=bn+2^a(n+1)得
cn/c(n-1)=2^a(n+1)/2^an=2^(a(n+1)-an)=2^2=4
∴cn是公比为4的等比数列；cn=c1*q^(n-1)
b1=2,a2=3,∴b2=b1+2^a2=11,c1=b2-b1=9
∴cn=c1*q^(n-1)=9*4^(n-1)=b(n+1)-bn
∴b(n+1)=bn+9*4^(n-1)
bn=b(n-1)+9*4^(n-2)
b(n-1)=b(n-2)+9*4^(n-3)
.
b2=b1+9*4^0
上述n个等式加起来,得
b(n+1)=b1+9*[4^(n-1)+4^(n-2)+...+4^0]
=b1+9*(1-4^n)/(1-4)
=2+(4^n-1)/3
∴bn通式为 bn=2+(4^(n-1)-1)/3