题目

已知a，b，c都是正实数，且满足log₉（9a+b）=log₃

ab

，则使4a+b≥c恒成立的c的取值范围是（　　）
A. [

4

3

，2）
B. （0，22）
C. [2，23）
D. （0，25]

提问时间：2020-12-25

答案

∵a，b，c都是正实数，且满足log₉（9a+b）=log₃

ab

，
∴log₉（9a+b）=log₃

ab

=log₉ab，
∴9a+b=ab，
∴

9a+b

ab

＝

9

b

+

1

a

＝1，
∴4a+b=（4a+b）（

9

b

+

1

a

）=

36a

b

+

b

a

+13≥2

36

+13＝25，
∵4a+b≥c恒成立，c是正实数，
∴0＜c≤25．
故选：D．

由已知得9a+b=ab，从而

9a+b

ab

＝

9

b

+

1

a

＝1，进而4a+b=（4a+b）（

9

b

+

1

a

）=

36a

b

+

b

a

+13≥2

36

+13＝25，
由此能求出结果．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和基本不等式性质的合理运用．